Manchmal gewährt uns die Mathematik einen kleinen Einblick in die Schönheit von fast Allem. Beispielsweise hat gerade David Smith, ein Hobby-Mathematiker, ein altes Problem gelöst, von dessen Existenz viele nicht gewusst haben werden. Es handelt sich um das Problem der Parkettierung in der Ebene, mit dem sich schon so große Forscher wie Donald Knuth oder Roger Penrose beschäftigt haben. Gerade bei Penrose sind einige sehr hübsche geometrische Anordnungen herausgekommen.

Die Aufgabe besteht darin, einen Satz Fliesen zu finden, mit dene eine beliebig große Ebene vollständig ausgefüllt werden kann. Dabei soll sich ein Muster, das durch Aneinanderlegen von Fliesen ergibt, nicht wiederholen. Auch dann nicht, wenn Sie unendlich lange vor sich hin parkettieren.

Vornehm ausgedrückt: finden Sie eine aperiodische Protokachel, oder auf Englisch “an aperiodic monotile”.

Weil man statt Kachel auch Stein sagen kann und das Problem wirklich schwierig ist, entstand der Name “Einstein-Parkettierung”. Mit dem berühmten Physiker hat das nichts zu tun.

Damit das Ergebnis mathematischen Anforderungen Stand hält, müssen Sie aber noch beweisen, dass die Aperiodizität wirklich vorliegt, also auch bei beliebig langem Anlegen kein bekanntes Muster wiederholt wird.

Herrn Smith ist es gelungen, eine Kachel zu finden, mit der das funktioniert. Deren Form ist erfreulicherweise nicht übermäßig komplex.

Der graue Bereich in dieser Abbildung ist die Kachel. Wegen ihrer Form wird sie auch Hut (“hat”) oder Shirt genannt. Den Hut kann man gut erkennen, das Shirt hat den Halsausschnitt gerade unten. Mit dieser Kachel gelingt dann beispielsweise eine Parkettierung wie diese hier:

Wer es genauer wissen möchte, findet auf der Website von Smith viele Informationen, unter Anderem eine wissenschaftliche Veröffentlichung zu seiner Entdeckung, weitere Beispielbilder und einen Shirt Generator. Die hier verwendeten Bilder stammen größtenteils von dort.

Seitenverhältnisse der Kachel können nach einem bestimmten Muster verändert werden, sodass sich ein anderer Eindruck ergibt, ohne dass die Parkettierbarkeit der Ebene darunter leidet.

Sind Sie jetzt ergriffen? Sehr schön! Genießen Sie Ihren Zen Moment.